23 魔砂（1）
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为了犒劳我这两天耗费了大量的脑力，终于弄清了时间、空间、物质和能量的关系，推导出了质能关系公式，米西雅鉆进湖里，抓了一些银鱼，放在很薄的石板上加上津盐草末和自己榨的松子油烤熟，给晚饭加了一道大菜。
银鱼只有一二寸长，全身雪白，无骨无刺，几乎完全就是一根细嫩无比的肉丝。我从来没吃过如此美味的鱼，几分钟内就把所有的烤银鱼一扫而光，可是银鱼的味道究竟有多好，我却怎么也形容不出，只是觉得意犹未尽。米西雅告诫我说，这种鱼是大自然的珍贵馈赠，绝不可贪求，最多只能四个月吃一次，这样牠们才能休养生息，代代繁衍。
接下来的数学课程也越来越难了，为了达到学习下一部分物理课程的要求，米西雅开始教给我级数与积分变换，偏微分方程与物理系统的数学建模、复矩阵以及范数、张量和群的基本知识。
这一阶段的学习内容理解起来可以说是吃力到了极点，一个知识点常常需要我反复冥思苦想一整天后才能弄明白究竟是怎么回事。其他知识还好，虽然很难但至少比较有趣，而级数和积分变换却是又枯燥又无聊。
米西雅看着我对这部分心不在焉的样子，竟然用几句话就化解了我的苦恼：“当你写出一个函数的表达式时，你看到的只是一个函数宏观的样子，就像看见一个宏观世界中的物体一样，你看不见组成它的分子、原子以及更小的粒子，更不知道这些看不见的微观粒子是以怎样的形式构成这个物体的。可是你早就知道了解物质的微观结构对于深入地认识物质的特性是至关重要的。而级数就是组成一个函数的微观粒子以及它们的组织方式，把函数展开为级数，就像把函数放在显微镜下观察它的微观结构，你可以知道许多从函数的表达式中看不出来的信息。
幂级数可以告诉你一个函数的曲线最细微的地方究竟可以平滑到什么程度，傅里叶级数可以告诉你一个任意函数含有哪些周期性的分量，也可以告诉你一个函数变化得有多快。
从实用的角度来说，你已经知道解一个微分方程最终都要把它化为计算一个到多个积分，积分的结果就是解。这种把方程化为求积分的过程是解微分方程最难的地方，如果无法通过初等代数变换来实现这一点，可以尝试先给方程换换元。但具体的方程是千变万化的，这两种方法都无效的情况经常会遇到，那又该怎么办呢？这时你只要对方程做个傅里叶变换或拉普拉斯变换，它就由一个微分方程变成了一个初等代数方程！你可以非常愉快地算出它的解，然后再对解做一次相应积分变换的逆变换，这个微分方程的解就出来了！你看积分变换是不是很有用？而级数，正是积分变换的基础。”
总的来说，她讲课的方式仍然是从最简单，最浅显的概念讲起，配合着神奇的三维动态投影，经常使用故事和比喻，直到我把所有的基本概念全部理解透了才会开始分析具体的问题，并且故意讲得很慢很细，好留出足够的时间给我自己思考消化。我想起了那个世界的老师上起课来只管自顾自地疯狂赶进度，课后只管铺天盖地地疯狂布置作业，从不关心学生是否听得懂，更不解答任何疑难的教学方式，心里不由得暗自庆幸——如果像他们那样教这么艰深复杂的知识，恐怕我早就已经死过无数次了。
这样又过了半年，我对幂级数和傅里叶级数、傅里叶变换和拉普拉斯变换以及齐次和非齐次偏微分方程的分离变量解法基本上入门了，也懂得什么是初始条件与初值问题，什么是边界条件与边值问题，什么是混合条件与混合问题，怎么建立波动方程、扩散方程和位势方程以及用这三种方程的组合来描述更复杂的物理问题了，知道复数矩阵与实数矩阵的性质和运算方法有什么异同了，明白什么是范数、什么是张量、什么是群了。于是米西雅在一个春寒料峭的早上又神不知鬼不觉地开始讲起了第二部分的物理课程。
因为天气还很冷，我们没有去湖边上课，而是在房间里。小福、小闹钟和伊布围在我们旁边——小福早已长成了一只美丽的橘红色成年狐貍，小闹钟换了一身蓬松的新羽毛，显得大了一圈，伊布长到了手臂那么粗，鳞片越来越鲜亮，还是像去年一样在壁炉边盘成一团打着呼噜。
米西雅一边用额前的第三只眼睛在空气中投影出一块写着“欢迎学习第二阶段物理课程”的虚拟黑板，一边说：“我们在前面已经研究过这么一些问题并得到了初步的结论：时空在最微观的层次是离散的，物体最微观的运动都是跳跃的，不可能同时精确地测量物体的位置和速度；存在是由状态的差异产生的，时空的状态差异也是离散的；即使没有任何宏观物质的空间也要运动和变化，微观时空中必然到处存在着不断瞬间生灭的虚粒子；物质和能量都是不均匀的时空，其中物质是不均匀的空间，能量是不均匀的时间，不均匀的空间与时间之间的换算关系就是质能关系式。我还告诉过你，由于这些条件的约束，微观世界里存在着一些宏观世界里不可能发生的怪现象，微观粒子的运动会与宏观物体截然不同以至于不可思议。不过你在那时候还理解不了为什么会这样，但我答应过你，在你能够理解的时候会为你解释这一切。所以，这一阶段的物理课程，就是了却你一直以来的夙愿，带你去看看微观世界的样子，并弄明白它与我们的关系。”
“哎，你不说我都全忘了！”我拍了拍头。
“我不会忘。因为这些知识对于解决你生存的终极问题是至关重要的。”
“那好吧，请你快开始讲吧！”
米西雅投影出一套实验仪器：一根管子正对着一块有两道平行狭缝的薄板，薄板的后面还有一块没有任何缝隙孔洞的平整光滑平板。
“这都是啥玩意儿啊？”我怎么看也看不出这些东西是做什么用的。
“这里是一个粒子发射源，”米西雅指着投影中的那根管子说，“它可以发射微观粒子，既可以是没有质量也不带电的光子，也可以是有质量并且带电的电子或质子，但只要是足够小的微观粒子，无论哪一种在这个实验中的效果都没有任何区别。不过，这个粒子源有两种发射模式：一种是连续地发射许多粒子，一种是每一次只发射一个粒子。”
接着，又指着中间那个有两道缝隙的薄板说：“这就是一个用来遮挡粒子的挡板而已，用非常致密的金属制成，可以保证无论是光子还是电子都无法穿透它，只能从它上面开的那两道缝中间通过。而这块板，”她指着最后面的平板解释道，“是一个成像屏幕。如果我们用光子来做实验，那么它就是一张感光底片，当光子落在上面的某个点时，这里的感光材料将被曝光，然后由曝光前的黑色变成白色，于是底片上就留下了一个白点，显示出有一个光子从粒子源出发穿过挡板到达了这里。如果我们用电子来做实验，可以在底片上再涂一层荧光剂，当电子落在上面的某点时，这里的荧光剂分子会因为吸收了电子的能量而发出闪光，闪光又使得这里的感光材料曝光，于是我们事后仍可以通过看底片上曝光后变色的点知道来自粒子源的电子落到了哪个位置。
为了排除不是来自粒子源的光子和电子以及外界对粒子施加的电磁场干扰我们的实验，很显然整个实验装置必须要放在完全密封不透任何光线并且能彻底屏蔽电磁场的高真空容器内，这样才可以确信落到成像屏幕上的粒子都是从粒子源出来的而且运动轨迹没有受来自外界的电磁场或其它粒子干扰。”
“那么，从粒子源发出的粒子只有穿过挡板上的缝隙才能到达屏幕吧？屏幕上只有正对着挡板上的缝隙的位置才有粒子落上去吧？这不是很简单吗？”我觉得这个实验好像没什么意思。
“对于宏观世界中的沙子来说，你所描述的情形是正确的；对于微观世界中的粒子来说，你想得确实是太简单了，微观粒子可不像沙子这么老实。”米西雅明显是不同意我的想法。
“咦，难道微观粒子很狡猾吗？难道它们会跑到屏幕上不是正对缝隙的地方去吗？”我觉得不是一般的奇怪。
“请稍等一下。”米西雅走出房间，到旁边那间堆满杂物的大船舱里去。不一会儿她拿着一块薄金属板回来了，蹲在厨房的一个水桶边，“来看看这个吧！”
我好奇地过去，看见这块薄金属板上正好有两道平行的狭缝，米西雅把它竖着放进水桶中间，把水桶里的水面隔成两半，在其中一半用一根笔直的小圆木棍竖着插入水中有节奏地上下搅动水面，一圈圈波纹从小棍周围出现，向四面八方扩散开去。当它们遇到挡板时，大部分被反射了回来，但在挡板上的缝隙处，波纹穿过缝隙到达了桶里的另一半水面。
“仔细看这里！”米西雅提醒道。
从两道缝隙穿过的波纹在另一半水面相碰了，我发现在来自缝隙的两道波纹相遇的区域里，某些地方的波峰消失了，而某些地方的波峰却更高了。
“你看到的这种现象叫做干涉，是波动所特有的一种性质。你看到某些地方的波动幅度减小到近乎消失，是因为波峰和波谷正好在这些地方相遇，介质的震动相互抵消。而那些波动幅度变得更大的地方，是因为波峰和波峰，波谷和波谷在那里相遇，介质的震动相互加强。”米西雅为我解释。
“嗯，我看出来了。”我点点头。
“不过要发生波的干涉现象，必须要满足两个条件：一是从两个波源发出的波必须具有相同的波长，二是从两个波源发出的波初始相位必须一致，物理学中把满足这两个条件的波源称为相干波源。在这个实验中，我是用一根棍子来制造水面的波动，然后利用带有两道宽度相同的平行狭缝的挡板把同一个波动分割成两道波，而且我搅动水面的位置到挡板上的两道缝的距离都是相等的，于是穿过狭缝的这两道波肯定就会具有相同的波长和相位了，所以它们可以发生干涉。”米西雅继续解释。
“不过这跟你刚才要讲的粒子穿过挡板的过程有什么关系呢？难道……粒子也可以像水波一样干涉？”
“没错！这就是微观粒子不同于宏观沙子的奇特之处，它们可以像波一样经过障碍物，可以发生干涉和衍射。”
“这……这……怎么做得到？那粒子到底还是不是粒子啊？”微观世界的粒子果然大大超出了我的理解。
“当然还是粒子。不过，当你一听到‘粒子’这个词的时候，你是不是头脑中首先浮现出一个非常小的小球，一个小小的颗粒？很遗憾地说，这种对微观粒子的想象并不符合事实。还记得我曾经说过，作为量子的基本粒子并不是一个个微小的小球，它们只是用来代表某种物理量的最小单位，不存在外形的概念吗？对于光子，我们只知道它是交变电磁场或电磁波不可分割的最小能量单位，没有真正意义上的确定的质量；而对于电子，我们只知道它是电荷量不可分割的最小单位，还有一点点确定的质量。除此之外，我们根本不知道这些粒子是什么样子的。不过，如果我们用技术手段来探测哪里有光子，我们一定会发现电磁波的最小能量单位离散地分布在某些空间点处；在探测电子时，也同样可以发现电荷量的最小单位离散地位于某些空间点上，这就是把它们称为‘粒子’的原因。”米西雅开始尝试改变我从宏观世界中的经验建立起来的对微观世界的认识。
“虽然……没有形状，可是……可是……听你这么说，微观粒子还是某种离散的物理量，位于离散的空间位置呀！要是这样，它们怎么形成波呢？”我发现自己还是很难战胜长期以来从直观常识中建立起来的观念。
“桶里的水也是一个个离散的水分子组成的，水的波动是大量水分子集体运动的结果。单个的电子和光子在空间中的运动，如果完全不受外界干预，就一定是完全随机的，你永远不可能知道它会跑到哪里去，当然也就看不出它的波动性。这些粒子表现出波动的性质，也是许多粒子共同呈现出来的结果，但与水波不同的是，这种波动并不是大量粒子同时一起运动形成的，而是一个个粒子的运动过程在时间上累加而成的！”
米西雅很认真地讲解了一阵，发现我还是一脸茫然，于是站起来说道：“光是这样讲对你来说终究是很不直观，很难理解的，所以还是来看看真正的微观粒子穿过挡板是什么结果吧？”
我也站起来，跟着米西雅一起回到里屋。
为了犒劳我这两天耗费了大量的脑力，终于弄清了时间、空间、物质和能量的关系，推导出了质能关系公式，米西雅鉆进湖里，抓了一些银鱼，放在很薄的石板上加上津盐草末和自己榨的松子油烤熟，给晚饭加了一道大菜。
银鱼只有一二寸长，全身雪白，无骨无刺，几乎完全就是一根细嫩无比的肉丝。我从来没吃过如此美味的鱼，几分钟内就把所有的烤银鱼一扫而光，可是银鱼的味道究竟有多好，我却怎么也形容不出，只是觉得意犹未尽。米西雅告诫我说，这种鱼是大自然的珍贵馈赠，绝不可贪求，最多只能四个月吃一次，这样牠们才能休养生息，代代繁衍。
接下来的数学课程也越来越难了，为了达到学习下一部分物理课程的要求，米西雅开始教给我级数与积分变换，偏微分方程与物理系统的数学建模、复矩阵以及范数、张量和群的基本知识。
这一阶段的学习内容理解起来可以说是吃力到了极点，一个知识点常常需要我反复冥思苦想一整天后才能弄明白究竟是怎么回事。其他知识还好，虽然很难但至少比较有趣，而级数和积分变换却是又枯燥又无聊。
米西雅看着我对这部分心不在焉的样子，竟然用几句话就化解了我的苦恼：“当你写出一个函数的表达式时，你看到的只是一个函数宏观的样子，就像看见一个宏观世界中的物体一样，你看不见组成它的分子、原子以及更小的粒子，更不知道这些看不见的微观粒子是以怎样的形式构成这个物体的。可是你早就知道了解物质的微观结构对于深入地认识物质的特性是至关重要的。而级数就是组成一个函数的微观粒子以及它们的组织方式，把函数展开为级数，就像把函数放在显微镜下观察它的微观结构，你可以知道许多从函数的表达式中看不出来的信息。
幂级数可以告诉你一个函数的曲线最细微的地方究竟可以平滑到什么程度，傅里叶级数可以告诉你一个任意函数含有哪些周期性的分量，也可以告诉你一个函数变化得有多快。
从实用的角度来说，你已经知道解一个微分方程最终都要把它化为计算一个到多个积分，积分的结果就是解。这种把方程化为求积分的过程是解微分方程最难的地方，如果无法通过初等代数变换来实现这一点，可以尝试先给方程换换元。但具体的方程是千变万化的，这两种方法都无效的情况经常会遇到，那又该怎么办呢？这时你只要对方程做个傅里叶变换或拉普拉斯变换，它就由一个微分方程变成了一个初等代数方程！你可以非常愉快地算出它的解，然后再对解做一次相应积分变换的逆变换，这个微分方程的解就出来了！你看积分变换是不是很有用？而级数，正是积分变换的基础。”
总的来说，她讲课的方式仍然是从最简单，最浅显的概念讲起，配合着神奇的三维动态投影，经常使用故事和比喻，直到我把所有的基本概念全部理解透了才会开始分析具体的问题，并且故意讲得很慢很细，好留出足够的时间给我自己思考消化。我想起了那个世界的老师上起课来只管自顾自地疯狂赶进度，课后只管铺天盖地地疯狂布置作业，从不关心学生是否听得懂，更不解答任何疑难的教学方式，心里不由得暗自庆幸——如果像他们那样教这么艰深复杂的知识，恐怕我早就已经死过无数次了。
这样又过了半年，我对幂级数和傅里叶级数、傅里叶变换和拉普拉斯变换以及齐次和非齐次偏微分方程的分离变量解法基本上入门了，也懂得什么是初始条件与初值问题，什么是边界条件与边值问题，什么是混合条件与混合问题，怎么建立波动方程、扩散方程和位势方程以及用这三种方程的组合来描述更复杂的物理问题了，知道复数矩阵与实数矩阵的性质和运算方法有什么异同了，明白什么是范数、什么是张量、什么是群了。于是米西雅在一个春寒料峭的早上又神不知鬼不觉地开始讲起了第二部分的物理课程。
因为天气还很冷，我们没有去湖边上课，而是在房间里。小福、小闹钟和伊布围在我们旁边——小福早已长成了一只美丽的橘红色成年狐貍，小闹钟换了一身蓬松的新羽毛，显得大了一圈，伊布长到了手臂那么粗，鳞片越来越鲜亮，还是像去年一样在壁炉边盘成一团打着呼噜。
米西雅一边用额前的第三只眼睛在空气中投影出一块写着“欢迎学习第二阶段物理课程”的虚拟黑板，一边说：“我们在前面已经研究过这么一些问题并得到了初步的结论：时空在最微观的层次是离散的，物体最微观的运动都是跳跃的，不可能同时精确地测量物体的位置和速度；存在是由状态的差异产生的，时空的状态差异也是离散的；即使没有任何宏观物质的空间也要运动和变化，微观时空中必然到处存在着不断瞬间生灭的虚粒子；物质和能量都是不均匀的时空，其中物质是不均匀的空间，能量是不均匀的时间，不均匀的空间与时间之间的换算关系就是质能关系式。我还告诉过你，由于这些条件的约束，微观世界里存在着一些宏观世界里不可能发生的怪现象，微观粒子的运动会与宏观物体截然不同以至于不可思议。不过你在那时候还理解不了为什么会这样，但我答应过你，在你能够理解的时候会为你解释这一切。所以，这一阶段的物理课程，就是了却你一直以来的夙愿，带你去看看微观世界的样子，并弄明白它与我们的关系。”
“哎，你不说我都全忘了！”我拍了拍头。
“我不会忘。因为这些知识对于解决你生存的终极问题是至关重要的。”
“那好吧，请你快开始讲吧！”
米西雅投影出一套实验仪器：一根管子正对着一块有两道平行狭缝的薄板，薄板的后面还有一块没有任何缝隙孔洞的平整光滑平板。
“这都是啥玩意儿啊？”我怎么看也看不出这些东西是做什么用的。
“这里是一个粒子发射源，”米西雅指着投影中的那根管子说，“它可以发射微观粒子，既可以是没有质量也不带电的光子，也可以是有质量并且带电的电子或质子，但只要是足够小的微观粒子，无论哪一种在这个实验中的效果都没有任何区别。不过，这个粒子源有两种发射模式：一种是连续地发射许多粒子，一种是每一次只发射一个粒子。”
接着，又指着中间那个有两道缝隙的薄板说：“这就是一个用来遮挡粒子的挡板而已，用非常致密的金属制成，可以保证无论是光子还是电子都无法穿透它，只能从它上面开的那两道缝中间通过。而这块板，”她指着最后面的平板解释道，“是一个成像屏幕。如果我们用光子来做实验，那么它就是一张感光底片，当光子落在上面的某个点时，这里的感光材料将被曝光，然后由曝光前的黑色变成白色，于是底片上就留下了一个白点，显示出有一个光子从粒子源出发穿过挡板到达了这里。如果我们用电子来做实验，可以在底片上再涂一层荧光剂，当电子落在上面的某点时，这里的荧光剂分子会因为吸收了电子的能量而发出闪光，闪光又使得这里的感光材料曝光，于是我们事后仍可以通过看底片上曝光后变色的点知道来自粒子源的电子落到了哪个位置。
为了排除不是来自粒子源的光子和电子以及外界对粒子施加的电磁场干扰我们的实验，很显然整个实验装置必须要放在完全密封不透任何光线并且能彻底屏蔽电磁场的高真空容器内，这样才可以确信落到成像屏幕上的粒子都是从粒子源出来的而且运动轨迹没有受来自外界的电磁场或其它粒子干扰。”
“那么，从粒子源发出的粒子只有穿过挡板上的缝隙才能到达屏幕吧？屏幕上只有正对着挡板上的缝隙的位置才有粒子落上去吧？这不是很简单吗？”我觉得这个实验好像没什么意思。
“对于宏观世界中的沙子来说，你所描述的情形是正确的；对于微观世界中的粒子来说，你想得确实是太简单了，微观粒子可不像沙子这么老实。”米西雅明显是不同意我的想法。
“咦，难道微观粒子很狡猾吗？难道它们会跑到屏幕上不是正对缝隙的地方去吗？”我觉得不是一般的奇怪。
“请稍等一下。”米西雅走出房间，到旁边那间堆满杂物的大船舱里去。不一会儿她拿着一块薄金属板回来了，蹲在厨房的一个水桶边，“来看看这个吧！”
我好奇地过去，看见这块薄金属板上正好有两道平行的狭缝，米西雅把它竖着放进水桶中间，把水桶里的水面隔成两半，在其中一半用一根笔直的小圆木棍竖着插入水中有节奏地上下搅动水面，一圈圈波纹从小棍周围出现，向四面八方扩散开去。当它们遇到挡板时，大部分被反射了回来，但在挡板上的缝隙处，波纹穿过缝隙到达了桶里的另一半水面。
“仔细看这里！”米西雅提醒道。
从两道缝隙穿过的波纹在另一半水面相碰了，我发现在来自缝隙的两道波纹相遇的区域里，某些地方的波峰消失了，而某些地方的波峰却更高了。
“你看到的这种现象叫做干涉，是波动所特有的一种性质。你看到某些地方的波动幅度减小到近乎消失，是因为波峰和波谷正好在这些地方相遇，介质的震动相互抵消。而那些波动幅度变得更大的地方，是因为波峰和波峰，波谷和波谷在那里相遇，介质的震动相互加强。”米西雅为我解释。
“嗯，我看出来了。”我点点头。
“不过要发生波的干涉现象，必须要满足两个条件：一是从两个波源发出的波必须具有相同的波长，二是从两个波源发出的波初始相位必须一致，物理学中把满足这两个条件的波源称为相干波源。在这个实验中，我是用一根棍子来制造水面的波动，然后利用带有两道宽度相同的平行狭缝的挡板把同一个波动分割成两道波，而且我搅动水面的位置到挡板上的两道缝的距离都是相等的，于是穿过狭缝的这两道波肯定就会具有相同的波长和相位了，所以它们可以发生干涉。”米西雅继续解释。
“不过这跟你刚才要讲的粒子穿过挡板的过程有什么关系呢？难道……粒子也可以像水波一样干涉？”
“没错！这就是微观粒子不同于宏观沙子的奇特之处，它们可以像波一样经过障碍物，可以发生干涉和衍射。”
“这……这……怎么做得到？那粒子到底还是不是粒子啊？”微观世界的粒子果然大大超出了我的理解。
“当然还是粒子。不过，当你一听到‘粒子’这个词的时候，你是不是头脑中首先浮现出一个非常小的小球，一个小小的颗粒？很遗憾地说，这种对微观粒子的想象并不符合事实。还记得我曾经说过，作为量子的基本粒子并不是一个个微小的小球，它们只是用来代表某种物理量的最小单位，不存在外形的概念吗？对于光子，我们只知道它是交变电磁场或电磁波不可分割的最小能量单位，没有真正意义上的确定的质量；而对于电子，我们只知道它是电荷量不可分割的最小单位，还有一点点确定的质量。除此之外，我们根本不知道这些粒子是什么样子的。不过，如果我们用技术手段来探测哪里有光子，我们一定会发现电磁波的最小能量单位离散地分布在某些空间点处；在探测电子时，也同样可以发现电荷量的最小单位离散地位于某些空间点上，这就是把它们称为‘粒子’的原因。”米西雅开始尝试改变我从宏观世界中的经验建立起来的对微观世界的认识。
“虽然……没有形状，可是……可是……听你这么说，微观粒子还是某种离散的物理量，位于离散的空间位置呀！要是这样，它们怎么形成波呢？”我发现自己还是很难战胜长期以来从直观常识中建立起来的观念。
“桶里的水也是一个个离散的水分子组成的，水的波动是大量水分子集体运动的结果。单个的电子和光子在空间中的运动，如果完全不受外界干预，就一定是完全随机的，你永远不可能知道它会跑到哪里去，当然也就看不出它的波动性。这些粒子表现出波动的性质，也是许多粒子共同呈现出来的结果，但与水波不同的是，这种波动并不是大量粒子同时一起运动形成的，而是一个个粒子的运动过程在时间上累加而成的！”
米西雅很认真地讲解了一阵，发现我还是一脸茫然，于是站起来说道：“光是这样讲对你来说终究是很不直观，很难理解的，所以还是来看看真正的微观粒子穿过挡板是什么结果吧？”
我也站起来，跟着米西雅一起回到里屋。