11 宇宙的像素（下）
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本来是为了反驳芝诺的“飞矢不动”，结果却引出了又一个大大出乎我意料的结论。不过，时空并非无限可分，运动也并不连续这个观点虽然看起来不像“飞矢不动”那么荒谬，却仍然相当匪夷所思。难道这样就可以阻止人们计算某个时空点上的瞬时速度了吗？我们眼中的万物都是那么清晰细腻，运动得都是那么平滑流畅，怎么可能会是一个个的小格子拼成的？
“这没什么好奇怪的。”米西雅继续解释道，“你在那边的世界里，见过显示器的屏幕吧？上面其实布满了大量的小格子，显示出来的任何图像都是由这些小格子组成的，你只要不用放大镜靠近了看，这些画面对你来说看起来还是很清楚很自然的。”
“可是，显示器的分辨率是有限的，而我看见的世界却可以无限的清晰。”
“那是因为人类制造的显示器像素数量还很有限，每个像素的尺度也不够小。假如有一部超级显示器，它的屏幕上每个像素的尺度远远小于你眼睛的极限分辨率，即使你通过高倍的放大镜、显微镜来观察这个屏幕，每个像素的大小仍然超出你能够分辨的范围，而这个屏幕的总尺寸又非常非常大，上面的像素数量多得不可想象，当你看到这个显示器显示出的画面时，是不是觉得和真实的世界一样清晰？”
“我想，要造出一部这样的显示器，所花的成本一定跟它屏幕上的像素一样多……”我无法想象这样的显示器究竟可以清晰到什么程度，于是想到别的地方去了。
“制造这样的显示器对人类来说是太困难了，也没有必要，但上帝却可以，我们就生活在祂制造的显示器所显示出的世界里。”
“你是说，整个宇宙就是一个屏幕？”
“你这么理解并不算错，但现实世界和人类制造的显示器屏幕还是有一些区别的。”我已经非常震惊了，米西雅却照样平静如水地讲下去，“你见过的显示器屏幕都是二维的，上面的每个像素也都是二维的小格子；而我们生活的世界是三维的，组成宇宙的每个像素能够累加成你所看见的宏观世界的那部分是三维的小颗粒，另外还有7维是你在某一个宇宙中时不可见的，只有能够同时看见所有的平行宇宙时才能看见。这对你来说可能很难理解，但你可以认为上帝制造的显示器远比人类制造的高级，不仅像素点的大小小得多，像素的数量多得多，而且每个像素都是10维的。只要每个像素的尺度远小于你能够达到的极限分辨率，你就会认为由这些像素构成的世界是连续的了。”
“如果世界是这样的，那么，这个世界里的物体也就只能以一点一点地跳跃的方式移动吧？这样的运动……看起来流畅吗？”
“没有问题啊。你觉得显示器上播放的视频里的物体运动流畅吗？人类的视觉系统对时间的分辨率比对空间的分辨率还要低得多，你应该知道在那边的世界，电视画面每秒钟切换50帧，每一帧的时间长度是1/50秒，因为超过每秒48帧，人类的眼睛就已经无法分辨出每一帧了。而宇宙的一帧可要比电视画面短多了，不仅是人类，任何生物都根本不能分辨出这么短的时间。”
对于一个由不连续的空间和时间构建起来的世界，我感觉理解起来非常吃力。虽然我曾经每天都见过显示器的屏幕和电视画面，当现在得知自己所生活的现实世界就是一个电视里的世界时，却感到无比陌生。宇宙的像素到底要多小，宇宙的一帧到底要多短，才能让我觉得世界是连续的？如果空间和时间都不连续，那岂不是有好多东西都不连续？
“我知道如果见不到具体的数字，你是难以理解这些概念的。”米西雅发觉我已经很难接受这些东西，就停下了正在讲的内容，“我可以告诉你宇宙的像素和帧——空间与时间的最小单位的大小。在一个能够长时间稳定存在的宇宙中，空间的最小距离是1.6162×10^-35米，时间的最短长度是0.5391×10^-43秒，而在你曾经生活的那个世界，人类目前用尽一切技术手段能够探测到的最小长度只能达到10^-18米，最短的时间只能达到10^-17秒，所以这么短的时间和空间尺度，对任何人来说都已经是一个没有大小的点了。”
“那么比0.5391×10^-43秒更短的时间和比1.6162×10^-35米更小的空间会是什么呢？难道就没有比这两个数字更小的时间和空间了么？”
“对于生活在这个宇宙中的我们来说，比这两个数字更小的时间和空间确实不存在了。你想想看，对于电视屏幕上的世界，比一个像素更小的空间和比一帧画面更短的时间有意义吗？你无法再去追究比宇宙的‘像素’和‘帧’更小的时空，因为上帝就是这样设计这一切的，除非你可以跳出这个世界去自己设计一个世界，那样你就可以自己定义最小的空间和时间单位值了。不过我要先提醒你一点，无论你把时空的最小单位设得多小，一定不能等于零。”
“为什么？”
“因为你从小就知道的一个最最基本的数学常识——零就是无，再多的零加起来还是零。如果时空的最小单位等于零，你就不可能用它们构建起一个辽阔的宇宙，结果仍然会是什么也没有。”米西雅笑道。
我猛一拍脑袋。
“你看，现在你只是为了弄明白微积分的秘密，就已经看到了上帝创造世界所使用的方式仍然是你可以理解的，仍然是符合逻辑的，所以还有什么是你学不会的呢？”
米西雅无意中又随口夸了我，让我极不自在，于是赶紧设法转移话题：“既然世界并不是连续的，而微积分又是为了处理连续量而发明的运算，用微积分来描述真实的客观世界不是就错得一塌糊涂了吗？”
“不，用微积分方程来描述所有物理现象的结果都是非常精确的，从来没有离谱过。因为微积分本身并没有错，而是人们把它理解错了。只要我们改变一下理解微积分的方式，一切问题都不会存在，而且你会觉得微积分和自然数的加减乘除一样容易。”米西雅似乎非常擅长吸引我的好奇心，本来我已经听得有些累了，她这一句话又让我立刻竖起了耳朵，生怕漏掉一个字。
“快讲吧，该怎么理解？”
“我已经讲过，微分就是把一个具有确定的大小的连续量分割成无穷小量的运算；而积分则是把无穷小量累加成一个具有确定大小的连续量的运算，是不是？无穷小量就是一种假想的大小最接近零的实数，比它更小的数就只有零，不可能再有其它数存在于无穷小量和零之间了。问题是，无穷小量的定义本身已经违反了实数具有连续性，连续量一定无限可分的定义，就像要想无限精确地计算瞬时速度必定会违反速度的定义一样，这个矛盾实际上困扰了你曾经所在的那个世界的人很久。无穷小量到底有多小？它到底等不等于零？有人认为，既然世界是连续的，那么‘零’和‘非零’之间就可以连续地过渡，所以无穷小量可以等于零。但这样就得承认无穷个零加起来的结果可以是一个不等于零的大小确定的数，否则积分运算就没有意义，而承认这个结果就必须违反零的定义——零就是无！也有人认为，无穷小量并不等于零，只是一个最接近零的实数，所以大量的无穷小量加起来可以得到任何不为零的数，这就保证了积分运算是有效的。但就像刚才说过的那样，这样的无穷小量定义又与实数的连续性定义矛盾，要采用这种观点，就必须承认世界并不连续，真正的实数——连续量并不客观存在。由于在发明实数、连续统和微积分的时代，人类只能从宏观世界中的观察经验总中结出世界是连续的这个结论，没有也不可能深入到微观世界去严格地验证它，于是最后只能既承认实数连续，又承认无穷小量并不严格为零，而认为它既等于零又不等于零……”
“估计当初建立微积分的数学家最后都精神分裂了……”没想到微积分中的各种矛盾是如此盘根错节，我刚提起好奇心要想仔细听一听这部分内容，就立刻被搞得晕头转向。
“确实如此，但是只要承认世界并不连续，绝对的连续量并不存在，这一切矛盾不就烟消云散了吗？连续的世界只是一个没经过严格证明的假设，坚持这个假设的结果却是给我们带来了大量的麻烦。我们在前面进行的种种分析，都不容置疑地指向了一种可能——世界是不连续的，那还有什么理由继续坚持下去呢？现在你已经知道时空都有不为零而且不可再分的最小单位，所以，对于空间尺度来说，它的无穷小量就是1.6162×10^-35米，而时间的无穷小量就是0.5391×10^-43秒。由于一切客观真实的物理量都是由时空衍生出来的，所以它们也都存在不为零的无穷小量，以后我会告诉你所有这些物理量的最小单位。我们可以给这些最小单位取个名字，叫自然单位，意思是说，这些单位的大小不是人为定义的，而是因为上帝在构建宇宙时就用的是这些单位。从此以后，你在使用微积分时就可以认为一个量的无穷小量正是它的自然单位，而不再是什么玄妙莫测的既等于零又不等于零的想象中的数了。即使你不知道它的自然单位具体的值是多少，也知道对它求微分只能把它分割到它的自然单位为止，而对它求积分就是把它的大量自然单位按照给出的函数求和，求和的次数肯定是个整数，只是特别大而已。这正是微积分能够精确地描述客观世界的根本原因，因为微积分真正的本质并不是连续量的运算！绝对的连续只能存在于人们的想象中，而这种想象却会把人的脑子搞坏。”
米西雅到此终于把所有的矛盾都解开了，对我来说，理解微积分的最大障碍也消失了，心中一片空明，仿佛看到了上帝用自然单位的砖块砌起整个宇宙的过程。
“我们已经从逻辑推导的途径证明了宇宙是由不连续的‘像素’组成的，这足以帮助你理解微积分，但是，必须要有来自对客观世界的观测和实验的证明，才能认为这是一个正确的理论。还记得那个怎样精确计算瞬时速度的问题吗？如果从这个问题出发，我们又可以在物理的方向发现许多非常有趣的东西，它们可以帮助我们找到宇宙不连续的事实证据。”米西雅继续说。
“我想起来了，既然空间和时间都有不为零的自然单位，这样最精确的瞬时速度就有意义了，只能是空间的自然单位除以时间的自然单位！奇怪，这个最精确的瞬时速度好像太大了点，而且是一个始终不变的数呀！”我突然发现了什么，但刚一细想又发现有点不对劲。
“没错，这个速度就是光速。”米西雅帮我回答，“解决这个问题，是我们下一节课的内容。你可以先自己思考一下，权当是今天的作业了。”
“你可以先透露一下下节课要讲什么吗？”我觉得很不尽兴，就像自己最喜欢吃的东西只吃到一点点就没了，心欠欠地拉着米西雅的爪子问。
“我不是已经说过了么？不过既然你很想知道，我就再告诉你具体一点：由于宇宙的不连续，微观世界里存在着许多在宏观世界看来不可思议的怪现象，为此产生了一门新的物理理论来解释这些现象。但是在你曾经呆过的那个世界，由于建立这个理论的人不爱深入地多思考一下，结果造成他们的学说硬伤太多，一位叫爱因斯坦的科学家至死都不能接受，理由是‘上帝不玩骰子’。”
“上帝不玩骰子？”我对这句话似有一丝印象，好像曾在哪里看到过，却已经记不起它是爱因斯坦说的了。“我不知道爱因斯坦为什么说上帝不玩骰子，但根据你今天讲的东西，我觉得上帝一定很爱玩俄罗斯方块。”
“看来你完全听懂了，不错嘛。”米西雅很开心，“我们该准备晚饭了，今晚我教你煮牛肝菌。”
本来是为了反驳芝诺的“飞矢不动”，结果却引出了又一个大大出乎我意料的结论。不过，时空并非无限可分，运动也并不连续这个观点虽然看起来不像“飞矢不动”那么荒谬，却仍然相当匪夷所思。难道这样就可以阻止人们计算某个时空点上的瞬时速度了吗？我们眼中的万物都是那么清晰细腻，运动得都是那么平滑流畅，怎么可能会是一个个的小格子拼成的？
“这没什么好奇怪的。”米西雅继续解释道，“你在那边的世界里，见过显示器的屏幕吧？上面其实布满了大量的小格子，显示出来的任何图像都是由这些小格子组成的，你只要不用放大镜靠近了看，这些画面对你来说看起来还是很清楚很自然的。”
“可是，显示器的分辨率是有限的，而我看见的世界却可以无限的清晰。”
“那是因为人类制造的显示器像素数量还很有限，每个像素的尺度也不够小。假如有一部超级显示器，它的屏幕上每个像素的尺度远远小于你眼睛的极限分辨率，即使你通过高倍的放大镜、显微镜来观察这个屏幕，每个像素的大小仍然超出你能够分辨的范围，而这个屏幕的总尺寸又非常非常大，上面的像素数量多得不可想象，当你看到这个显示器显示出的画面时，是不是觉得和真实的世界一样清晰？”
“我想，要造出一部这样的显示器，所花的成本一定跟它屏幕上的像素一样多……”我无法想象这样的显示器究竟可以清晰到什么程度，于是想到别的地方去了。
“制造这样的显示器对人类来说是太困难了，也没有必要，但上帝却可以，我们就生活在祂制造的显示器所显示出的世界里。”
“你是说，整个宇宙就是一个屏幕？”
“你这么理解并不算错，但现实世界和人类制造的显示器屏幕还是有一些区别的。”我已经非常震惊了，米西雅却照样平静如水地讲下去，“你见过的显示器屏幕都是二维的，上面的每个像素也都是二维的小格子；而我们生活的世界是三维的，组成宇宙的每个像素能够累加成你所看见的宏观世界的那部分是三维的小颗粒，另外还有7维是你在某一个宇宙中时不可见的，只有能够同时看见所有的平行宇宙时才能看见。这对你来说可能很难理解，但你可以认为上帝制造的显示器远比人类制造的高级，不仅像素点的大小小得多，像素的数量多得多，而且每个像素都是10维的。只要每个像素的尺度远小于你能够达到的极限分辨率，你就会认为由这些像素构成的世界是连续的了。”
“如果世界是这样的，那么，这个世界里的物体也就只能以一点一点地跳跃的方式移动吧？这样的运动……看起来流畅吗？”
“没有问题啊。你觉得显示器上播放的视频里的物体运动流畅吗？人类的视觉系统对时间的分辨率比对空间的分辨率还要低得多，你应该知道在那边的世界，电视画面每秒钟切换50帧，每一帧的时间长度是1/50秒，因为超过每秒48帧，人类的眼睛就已经无法分辨出每一帧了。而宇宙的一帧可要比电视画面短多了，不仅是人类，任何生物都根本不能分辨出这么短的时间。”
对于一个由不连续的空间和时间构建起来的世界，我感觉理解起来非常吃力。虽然我曾经每天都见过显示器的屏幕和电视画面，当现在得知自己所生活的现实世界就是一个电视里的世界时，却感到无比陌生。宇宙的像素到底要多小，宇宙的一帧到底要多短，才能让我觉得世界是连续的？如果空间和时间都不连续，那岂不是有好多东西都不连续？
“我知道如果见不到具体的数字，你是难以理解这些概念的。”米西雅发觉我已经很难接受这些东西，就停下了正在讲的内容，“我可以告诉你宇宙的像素和帧——空间与时间的最小单位的大小。在一个能够长时间稳定存在的宇宙中，空间的最小距离是1.6162×10^-35米，时间的最短长度是0.5391×10^-43秒，而在你曾经生活的那个世界，人类目前用尽一切技术手段能够探测到的最小长度只能达到10^-18米，最短的时间只能达到10^-17秒，所以这么短的时间和空间尺度，对任何人来说都已经是一个没有大小的点了。”
“那么比0.5391×10^-43秒更短的时间和比1.6162×10^-35米更小的空间会是什么呢？难道就没有比这两个数字更小的时间和空间了么？”
“对于生活在这个宇宙中的我们来说，比这两个数字更小的时间和空间确实不存在了。你想想看，对于电视屏幕上的世界，比一个像素更小的空间和比一帧画面更短的时间有意义吗？你无法再去追究比宇宙的‘像素’和‘帧’更小的时空，因为上帝就是这样设计这一切的，除非你可以跳出这个世界去自己设计一个世界，那样你就可以自己定义最小的空间和时间单位值了。不过我要先提醒你一点，无论你把时空的最小单位设得多小，一定不能等于零。”
“为什么？”
“因为你从小就知道的一个最最基本的数学常识——零就是无，再多的零加起来还是零。如果时空的最小单位等于零，你就不可能用它们构建起一个辽阔的宇宙，结果仍然会是什么也没有。”米西雅笑道。
我猛一拍脑袋。
“你看，现在你只是为了弄明白微积分的秘密，就已经看到了上帝创造世界所使用的方式仍然是你可以理解的，仍然是符合逻辑的，所以还有什么是你学不会的呢？”
米西雅无意中又随口夸了我，让我极不自在，于是赶紧设法转移话题：“既然世界并不是连续的，而微积分又是为了处理连续量而发明的运算，用微积分来描述真实的客观世界不是就错得一塌糊涂了吗？”
“不，用微积分方程来描述所有物理现象的结果都是非常精确的，从来没有离谱过。因为微积分本身并没有错，而是人们把它理解错了。只要我们改变一下理解微积分的方式，一切问题都不会存在，而且你会觉得微积分和自然数的加减乘除一样容易。”米西雅似乎非常擅长吸引我的好奇心，本来我已经听得有些累了，她这一句话又让我立刻竖起了耳朵，生怕漏掉一个字。
“快讲吧，该怎么理解？”
“我已经讲过，微分就是把一个具有确定的大小的连续量分割成无穷小量的运算；而积分则是把无穷小量累加成一个具有确定大小的连续量的运算，是不是？无穷小量就是一种假想的大小最接近零的实数，比它更小的数就只有零，不可能再有其它数存在于无穷小量和零之间了。问题是，无穷小量的定义本身已经违反了实数具有连续性，连续量一定无限可分的定义，就像要想无限精确地计算瞬时速度必定会违反速度的定义一样，这个矛盾实际上困扰了你曾经所在的那个世界的人很久。无穷小量到底有多小？它到底等不等于零？有人认为，既然世界是连续的，那么‘零’和‘非零’之间就可以连续地过渡，所以无穷小量可以等于零。但这样就得承认无穷个零加起来的结果可以是一个不等于零的大小确定的数，否则积分运算就没有意义，而承认这个结果就必须违反零的定义——零就是无！也有人认为，无穷小量并不等于零，只是一个最接近零的实数，所以大量的无穷小量加起来可以得到任何不为零的数，这就保证了积分运算是有效的。但就像刚才说过的那样，这样的无穷小量定义又与实数的连续性定义矛盾，要采用这种观点，就必须承认世界并不连续，真正的实数——连续量并不客观存在。由于在发明实数、连续统和微积分的时代，人类只能从宏观世界中的观察经验总中结出世界是连续的这个结论，没有也不可能深入到微观世界去严格地验证它，于是最后只能既承认实数连续，又承认无穷小量并不严格为零，而认为它既等于零又不等于零……”
“估计当初建立微积分的数学家最后都精神分裂了……”没想到微积分中的各种矛盾是如此盘根错节，我刚提起好奇心要想仔细听一听这部分内容，就立刻被搞得晕头转向。
“确实如此，但是只要承认世界并不连续，绝对的连续量并不存在，这一切矛盾不就烟消云散了吗？连续的世界只是一个没经过严格证明的假设，坚持这个假设的结果却是给我们带来了大量的麻烦。我们在前面进行的种种分析，都不容置疑地指向了一种可能——世界是不连续的，那还有什么理由继续坚持下去呢？现在你已经知道时空都有不为零而且不可再分的最小单位，所以，对于空间尺度来说，它的无穷小量就是1.6162×10^-35米，而时间的无穷小量就是0.5391×10^-43秒。由于一切客观真实的物理量都是由时空衍生出来的，所以它们也都存在不为零的无穷小量，以后我会告诉你所有这些物理量的最小单位。我们可以给这些最小单位取个名字，叫自然单位，意思是说，这些单位的大小不是人为定义的，而是因为上帝在构建宇宙时就用的是这些单位。从此以后，你在使用微积分时就可以认为一个量的无穷小量正是它的自然单位，而不再是什么玄妙莫测的既等于零又不等于零的想象中的数了。即使你不知道它的自然单位具体的值是多少，也知道对它求微分只能把它分割到它的自然单位为止，而对它求积分就是把它的大量自然单位按照给出的函数求和，求和的次数肯定是个整数，只是特别大而已。这正是微积分能够精确地描述客观世界的根本原因，因为微积分真正的本质并不是连续量的运算！绝对的连续只能存在于人们的想象中，而这种想象却会把人的脑子搞坏。”
米西雅到此终于把所有的矛盾都解开了，对我来说，理解微积分的最大障碍也消失了，心中一片空明，仿佛看到了上帝用自然单位的砖块砌起整个宇宙的过程。
“我们已经从逻辑推导的途径证明了宇宙是由不连续的‘像素’组成的，这足以帮助你理解微积分，但是，必须要有来自对客观世界的观测和实验的证明，才能认为这是一个正确的理论。还记得那个怎样精确计算瞬时速度的问题吗？如果从这个问题出发，我们又可以在物理的方向发现许多非常有趣的东西，它们可以帮助我们找到宇宙不连续的事实证据。”米西雅继续说。
“我想起来了，既然空间和时间都有不为零的自然单位，这样最精确的瞬时速度就有意义了，只能是空间的自然单位除以时间的自然单位！奇怪，这个最精确的瞬时速度好像太大了点，而且是一个始终不变的数呀！”我突然发现了什么，但刚一细想又发现有点不对劲。
“没错，这个速度就是光速。”米西雅帮我回答，“解决这个问题，是我们下一节课的内容。你可以先自己思考一下，权当是今天的作业了。”
“你可以先透露一下下节课要讲什么吗？”我觉得很不尽兴，就像自己最喜欢吃的东西只吃到一点点就没了，心欠欠地拉着米西雅的爪子问。
“我不是已经说过了么？不过既然你很想知道，我就再告诉你具体一点：由于宇宙的不连续，微观世界里存在着许多在宏观世界看来不可思议的怪现象，为此产生了一门新的物理理论来解释这些现象。但是在你曾经呆过的那个世界，由于建立这个理论的人不爱深入地多思考一下，结果造成他们的学说硬伤太多，一位叫爱因斯坦的科学家至死都不能接受，理由是‘上帝不玩骰子’。”
“上帝不玩骰子？”我对这句话似有一丝印象，好像曾在哪里看到过，却已经记不起它是爱因斯坦说的了。“我不知道爱因斯坦为什么说上帝不玩骰子，但根据你今天讲的东西，我觉得上帝一定很爱玩俄罗斯方块。”
“看来你完全听懂了，不错嘛。”米西雅很开心，“我们该准备晚饭了，今晚我教你煮牛肝菌。”